高校を卒業したら、有名な大学に入ろうと、また学生の間で新しい競争が繰り広げられる。誰もがその入学試験に体当たりしなければならない。
自然な表現ですか?

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有名な大学に入ろうと
→有名な大学に入ろうと思ってる。

新しい競争が繰り広げられる
→文法上の間違いはありませんが、新しい競争が何を示してるのか具体的に書いた方がいいです。

誰もがその入学試験に体当たり
→この表現が少し不自然かと思います。

高校を卒業したら有名な大学に入ろうと思ってる。そのためには誰もがその入学試験を乗り越えなければならない。また大学入学後も学生の間では様々な競争が繰り広げられる。

競争が何を指しているかわからなかったのであえて明記していませんが私ならこのように書くと思います。